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ISSN : 2234-6937(Print)
ISSN : 2287-6979(Online)
Journal of Korea institue for Structural Maintenance Inspection Vol.17 No.6 pp.31-39
DOI : https://doi.org/10.11112/jksmi.2013.17.6.03

고강도 콘크리트의 인장강성을 고려한 철근 콘크리트 보의 비틀림 해석

한 삼 희1), 김 종 길2)*, 박 창 규3)
1) 정회원, 군산대학교 토목공학과 박사과정
2) 정회원, 호원대학교 토목환경공학과 겸임교수, 교신저자
3) 정회원, 군산대학교 토목공학과 교수

Analysis of High Strength Concrete RC Beams with Tensile Resistance Subjected to Torsion

Jong-Gil Kim, Sam-Heui Han, Chang-Kyu Park

Received : 04/18/2013, Revised : 08/21/2013, Accepted : 09/17/2013

Abstract

The ultimate behavior of high-strength concrete beams is studied with respect to their strength. Thirteen beams were analyzedand the results are presented herein. The variable parameters were the concrete’s compressive strength, from 57 to 184 MPa andthe amount of lateral torsional reinforcement, from 0.35 to 1.49%.The ultimate torsional strengths from tests were compared with those by this proposed theory and by the ACI code. As aconsequence, The ultimate torsional strengths by this proposed theory show the better results than those by the ACI code.

1. 서 론

 최근 장경간 교량과 같은 많은 특수한 구조물에 고강도콘크리트 (이후 HSC)가 사용된다. 이러한 고강도콘크리트의 사용으로 강도, 내구성, 경제성의 요구에 부응하게 되었고, 건물과 일반적인 구조물에도 고강도콘크리트의 사용은 보통강도콘크리트 (이후 NSC) 사용 시보다 부재가 작게 되어 경제적으로 효과가 있다. 기둥과 같은 고압축강도를 갖는 경우는 특히 더 그러하다. 그 결과 고강도콘크리트는 자중과 관성 (慣性)을 줄이며 이러한 감소는 지진환경에서 매우 큰 효과가 된다.

 경제적인 효과 때문에 고강도콘크리트 구조물은 처음에는 충분한 연구 없이 사용되었고 역학적 거동이 보통강도콘크리트의 연장으로 간주되었다. 몇 가지 보통강도콘크리트를 위한 설계기준은 고강도콘크리트에 적용할 수 있는지 충분히 연구되어야 한다. 부분적으로 이러한 작업이 실행되어 그 결과 몇 가지 설계기준은 50Mpa 이상의 콘크리트 강도에 적용하는 설계기준으로 노르웨이, 캐나다, 뉴질랜드, 유럽, ACI 설계기준이다. 그럼에도 불구하고 50Mpa 이상의 콘크리트 강도에 적용하는 것은 여전히 주의해야 한다는 기준들도 있다. 고강도콘크리트 부재의 구조적 거동은 완전히 알려지지 않았거나 완전히 모르는 부분이 존재한다. 비틀림을 받는 보의 경우에 대한 새로운 기준은 이론을 입증하기 위하여 많은 실험이 요구되고 그러므로 차후 연구는 설계기준을 수정할 수 있도록 계속되어야 한다.

 실제 구조물에서 비틀림은 축방향력, 휨모멘트, 전단력 등과 조합하여 작용한다. 그러나 교량과 같은 구조물에서는 비틀림이 설계에서 매우 중요한 요소로 더욱이 힘의 상호작용에 따른 설계과정에서 순수 비틀림에 대한 거동을 알아야 한다.

 본 논문의 연구목적은 보통강도콘크리트에 적용한 연화트러스 모델이론이 고강도콘크리트에 적용할 수 있는지를 알아보고 균열 후 콘크리트의 인장강성 차이를 알아보고자 한다.

2. 지배방정식 유도

 Fig. 1은 전단응력과 연직응력을 받는 철근콘크리트의 한 요소를 나타낸 것이다. 종방향 철근과 횡방향 철근의 방향을
각각 l축과 t축으로 정하여 l-t 좌표계를 구성하고 그에 따라 수직응력은 σl과 σt이며 전단응력은 τlt이다.  

Fig. 1 Definition of stresses and coordinate system

 대각선 균열이 발생한 후 콘크리트 스트럿은 압축을 받고 철근은 인장재로 작용하여 트러스 작용을 형성, 압축 스트럿은 d축을 향하고 종방향 철근과 α경사각을 이룬다. 이 방향은 주압축응력 및 변형률의 방향과 같다고 가정한다. d축과 직교하는 방향으로 r축을 잡고 주응력 및 변형률의 방향으로 d-r 좌표계를 취한다. d와 r방향의 연직 주응력은 각각 σd와 σr이다.

2.1 평형방정식

 트러스 모델의 세 가지 평형조건으로부터 콘크리트의 응력은 Mohr의 응력원을 만족한다고 볼 수 있다. 철근은 축방향 응력만 저항한다고 가정하면, Fig. 2에 보인바와 같이 콘크리트의 응력과 철근의 응력의 합은 다음과 같이 된다.

Fig. 2 Superposition of concrete stresses and steel stresses

 

 

 

 여기서,
  σl, σ= l, t 방향의 수직응력 (인장일 경우 양 (+)의 값)
  τlt      = l-t 좌표계의 전단응력 (Fig. 1에 나타낸 방향이 양의 값)
  σd, σr = d와 r방향의 주응력 (인장일 경우 양 (+)의 값)
  α   = l축에 대한 d축의 경사각
  ρl, ρt  = l, t방향의 철근비
  fl, ft   = l, t방향의 철근응력

2.2 적합방정식

 트러스 모델의 적합조건으로 부터 평균변형률 (Smeared strains)은 Mohr의 변형률 원을 만족하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 여기서,
  εl, ε= l, t방향의 평균변형률 (인장일 경우 양 (+)의 값)
  γlt      = l-t 좌표계의 전단변형률 (Fig. 1에 나타난 τlt에 따른 경우 양 (+)의 값)
  εd, εr = d와 r방향의 평균 주변형률 (인장일 경우 양 (+)의 값)

2.3 재료 구성방정식

 d방향의 콘크리트의 응력과 변형률은 Vecchio가 제안한 연화된 콘크리트에 대한 구성방정식을 따른다고 가정한다.

 

 

식 (7a)와 (7b)를 Fig. 3에 나타냈다. 

Fig. 3 Stress-strain relationship for softened concrete

 응력 은 비연화된 표준공시체의 최대 압축응력이다. 변형률 ε0는 비연화된 콘크리트의 최대 압축응력의 변형률로서 -0.002로 정한다. 인수 ζ는 연화계수로서 다음과 같이 제안된다.

 

 연화계수 ζ는 1보다 작다. 식 (8)의 포아손 (Poisson)비는 0.3으로 정한다. 식 (7)과 (8)의 변형률과 응력 εd, εo, σd, 은 압축에 관한 것으로 음 (-)의 부호를 갖고 εr은 인장변형률로 양 (+)의 부호를 갖는다.

  r방향의 응력-변형률 관계식은 다음과 같이 된다.

 

 

 여기서,
  E= 콘크리트의 초기 탄성계수로서 -20로 구하며 ε0=-0.002이다.
  εcr = 콘크리트의 균열 변형률로서 fcr/Ec로 구한다.
  fcr = 콘크리트의 균열 응력으로서 0.332로 구하며 의 단위는 Mpa 이다.

 식 (9a)와 (9b)는 Fig. 3(b)에 나타나 있다.

 종방향과 횡방향 철근의 응력-변형률 관계식은 탄성완전소성으로 가정한다.

 

 

 

 여기서,
  Es         = 철근의 탄성계수
  fly, fty = 종방향 철근 및 횡방향 철근의 항복강도
  εly, εty = 종방향 철근 및 횡방향 철근의 항복 변형률

 식 (1)부터 (11)까지 11개의 방정식에 14개의 미지변수가 존재한다. 이들은 7개의 응력 ( σl, σt, τlt, σd, σr, fl, ft )와 5개의 변형률 ( εl, εt, γlt, εd, ε) 그리고 경사각 α와 재료계수 ζ이다. 3개의 미지 변수가 주어지면, 나머지 11개의 미지 변수는 11개의 방정식에 의하여 구할 수 있다. 11개의 비선형 방정식이 복잡한 것처럼 보이지만 유심히 살펴보면 이들 11개의 방정식은 세 가지 특성으로 대폭 줄어들 수 있다. 첫째로 3개의 콘크리트 재료구성방정식 (7)부터 (9)는 6개의 미지 변수로 표시되며 4개의 d-r좌표계의 응력과 변형률 σd, σr, εd, εr과 α, ζ이다. 둘째로 식 (1)과 (2)는 적합방정식과 재료구성방정식에서 서로 짝을 이룬다. 식 (1)의 fl과 식 (2)의 ft는 식 (10), (11), (4), (5)를 통하여 εd, εr, α의 항으로 표현할 수 있다. 따라서 식 (1)과 (2)는 σl, σt이 주어졌을 때 6개의 미지 변수의 항으로 표현할 수 있다. 세 번째로 식 (3)부터 (6), (10), (11)을 살펴보면 l-t 좌표계의 6개의 미지 응력과 변형률 τlt, εl, εt, γlt, fl, ft는 독립적으로 이들 6개의 미지 변수들의 함수로 표현할 수 있다. 그러므로 11개의 방정식 중 5개의 방정식을 먼저 풀 수 있다. 식 (1), (2), (7), (8), (9)단지 6개의 미지 변수 σd, σr, εd, εr, α, ζ를 포함할 뿐이다. 하나의 미지 변수 보통 εd가 주어지면 나머지 5개의 미지 변수는 구할 수 있다.

3. 비틀림 지배방정식

 비틀림을 받는 부재의 경우 새로운 평형, 적합, 재료구성 방정식이 앞에서 유도한 11개의 방정식에 추가 이들 방정식의 유도는 Hsu에 의하여 제안되었다. 본 논문에서는 비틀림의 해를 구하기 위한 방정식을 체계적으로 소개하며 연립 방정식을 풀기 위한 단순하고 새로운 알고리즘을 제안한다.

3.1 평형방정식

 비틀림 하중 T를 받는 직사각형 단면을 Fig. 4(a)에 나타내었고 전단흐름 q가 단면외측둘레에 링을 그리며 발생 이 영역을 전단흐름 영역이라 부른다. Bredt의 이론에 따르면 전단흐름은 영역의 중심선을 따라 일정한 값을 가지며 비틀림 하중 T와 매우 단순한 평형방정식 q = T/2A0을 이룬다. 여기서 A0는 전단흐름의 중심선으로 둘러싸인 면적이다.

Fig. 4 Member subjected to torsion

 대각선 균열이 발생한 후 나선형 콘크리트 스트럿의 시리즈가 발생하며 종방향 철근 및 횡방향 폐합철근과 함께 공간트러스를 형성한다. 전단흐름영역의 요소는 2차원 구조물과 유사하게 평면트러스 작용이 발생하고 이 요소를 l-t좌표계의 요소로 따로 떼어내어 살펴보면 Fig. 4(b) 네 변에 전단응력 τlt를 받게 된다. 이 전단응력이 전단흐름영역 두께 td에 작용하므로 다음 식이 성립된다.

 

 두께 td는 적합조건에 의하여 나중에 결정한다.

 콘크리트 스트럿에서 응력변환 원리를 이용하여 d-r좌표계의 요소 Fig. 4(c)는 d축에 주압축응력 σd를 받고 r축으로 주인장응력 σr을 받는다. 그러므로 평형방정식 식 (1), (2), (3)을 적용할 수 있고 철근비 ρl, ρt는 전체 콘크리트 면적을 기준으로 계산하지 않고 전단흐름영역의 면적으로 계산한다. 즉 ρl = Al / pot여기서 Al 은 종방향 철근의 총면적이고 po는 전단흐름 중심선의 둘레이다. ρt = At / st여기서 At는 폐합스터럽의 한가닥 면적이며 s는 폐합스터럽의 간격이다.

 요약하면 비틀림을 받는 단면에서 4개의 평형방정식이 성립한다. 즉 식 (1)부터 (3), (12)이다. 식 (12)가 추가됨으로써 새로운 변수 T가 추가 되었고, td의 함수가 되므로 식 (1), (2), (12)는 td를 구하기 위한 새로운 적합방정식과 짝을 이룬다.

3.2 적합방정식

 거더가 비틀림을 받으면 각 단면은 비틂각 θ와 벽에 전단변형률 γlt이 발생한다. Bredt의 이론에 따르면 적합조건에 의하여 θ와 γlt은 다음의 관계식으로 표현할 수 있다.

 

 대각선 균열 발생하여 트러스 작용이 형성되면 벽에 발생한 전단변형률 γlt이 종방향 철근과 횡방향 철근의 변형률 εl과 εt에 의하여 팽창한다. 변형률변환 원리를 이용하여 d축에 주압축 변형률 εd를 받고 r축으로 주인장변형률 εr을 받는다. 따라서 적합방정식 식 (4)부터 (6)까지 응용할 수 있고, 주변형률축과 주응력축이 같다고 가정함으로써 이들 방정식의 각 α는 평형방정식에서 사용된 각과 같다.

  d-방향의 변형률 εd과 함께 대각선 콘크리트 스트러트는 전단흐름 벽 표면의 Warping에 의하여 휨작용을 받으므로 콘크리트 스트러트의 곡률 ψ는 비틂각 θ와 기하학적으로 다음의 관계식으로 표현된다.

 

 콘크리트의 휨에 의하여 단면 내부의 인장 면적은 생략하면 압축을 받는 외측 부분이 전단흐름을 유효하게 저항하는 것으로 생각된다. 따라서 압축영역의 깊이는 전단흐름의 두께 td로 간주한다. 그러므로 두께 td는 표면의 최대 변형률 εds 와 곡률 ψ의 관계식으로 다음과 같이 표현된다.

 

 또한 선형 변형률 분포이므로 최대 변형률 εds는 평균 변형률 εd와 다음의 관계식이 성립된다.

 

 식 (13)부터 (16)까지가 식 (4)부터 (6)까지 세 개의 적합방정식에 추가하여 비틀림에 요구되는 네 개의 적합 방정식이다. 이들 네 개의 추가 방정식은 또한 변형률과 기하학적 변수 θ, ψ, εds, td를 추가한다.

3.3 재료 구성방정식

 두께 td 안에서 축 방향력과 휨을 받으므로 압축응력의 분포는 Fig. 5에 보인바와 같이 곡선분포를 갖는다. 식 (7)에 나타낸 연화된 응력-변형률을 따르면 최대응력은 ζ이다. 점선으로 표시된 평균압축응력은 다음과 같이 정의할 수 있다.

Fig. 5 Strain and stress distributions in concrete struts

 

 k1 비는 식 (7)을 적분하여 구할 수 있고 최대 변형률 εds와 연화계수 ζ의 함수가 된다.

 

 

 식 (17), (18) 외에 콘크리트 연화와 철근특성에 관한 식 (8), (10), (11)은 비틀림의 경우에 적용 가능함으로 전부 5개의 방정식이 사용된다. 추가되는 식 (17)은 연화계수 ζ외에 새로운 재료 변수 k1이 추가된다.

 주목해야 할 점은 식 (7)은 콘크리트 스트럿의 압축응력만을 고려한 것이므로 비틀림에 적용할 수 없다는 점이다. 그 식은 축방향 압축응력과 휨을 고려한 식 (18)로 대체 평형, 적합, 재료구성에 관한 전체 방정식 수와 응력, 변형률, 재료 특성에 관한 모든 변수의 수를 Table 1에 정리하였다. 17개의 방정식에 20개의 변수가 포함되었음을 알 수 있고 3개의 변수가 주어지면 나머지 17개의 변수를 구할 수 있다.

Table 1 Equations and variables for torsion

3.4 순수비틀림에 적용

 순수 비틀림의 경우 두 개의 변수는 알게 된다. σl = 0, σt = 0. 세 번째 변수 εds (따라서 εd = εds / 2)는 임의로 정한다. εds는 하중이 증가함에 따라 단조증가하기 때문이다.

 본 논문에서는 17개의 방정식을 8개의 변수를 포함하는 7개의 방정식으로 축소하는 효율적인 알고리즘이 제시되었다. 7개의 방정식은 재료에 관한 4개의 방정식을 포함한다. 식 (8), (9), (17), (18); 식 (1), (2)로부터 유도한 2개의 평형방정식 식 (13)부터 (16)까지 제시된 새로운 적합방정식으로부터 td를 구하기 위해 유도한 하나의 적합방정식이다. 식 (10)과 (4)를 식 (1)에 대입하면

 

 

 식 (11)과 (5)를 식 (2)에 대입하면 두 가지가 가능하다.

 

 

 식 (15)의 두께 td는 연속적인 대입을 통하여 εd, εr, α의 항으로 나타낼 수 있다. (가) 식 (6)으로부터 γlt를 식 (13)에 대입한다. (나) 식 (13)으로부터 θ를 식 (14)에 대입한다. (다) 식 (14)로부터 ψ를 식 (15)에 대입한다. (라) 식 (16)으로부터 εds를 식 (15)에 대입한다. 결과적으로

 

 여기서 Ao와 po는 또한 td의 함수임을 주목한다.

 

 

 여기서,
  Ac = 콘크리트 단면의 외곽 둘레로 둘러싸인 면적
  p= 콘크리트 단면의 외곽 둘레
   ξ  = 구형단면은 1, 원형단면은 π/4, 정확성을 무시해도 좋을 경우 모든 단면에 1로 취할 수 있다.

 식 (22)와 (23)은 전단흐름 영역두께 td의 가운데에 전단흐름의 중심선이 있다는 가정 하에 유도된 것이다.

 두께 td는 변수 εd, εr, α가 주어지면 식 (21)로부터 간단한 시산법으로 구할 수 있다. 7개의 방정식 (8), (9), (17), (18), (19), (20), (21)을 풀기 위한 반복법은 다음과 같다.

 1. εds를 선정한다. εd = εds / 2 
 2. εr을 가정한다.
 3. 식 (8)로부터 ζ를 계산한다.
 4. 식 (18)로부터 k1를 계산한다.
 5. 식 (9), (17)로부터 σd, σr를 계산한다.
 6. td을 가정하고 식 (22)와 (23)으로부터 Ao와 po를 계산한다.
 7. 식 (19)로부터 α를 계산한다. 식 (19a) 또는 (19b)가 유효한지 식 (4)로부터 εl을 체크한다.
 8. 식 (21)로부터 td를 계산한다. td가 가정한 값에 근접하면 td와 α값을 확정한다. td가 가정한 값에 충분히 근접하지 않으면 단계 6과 단계 7을 반복한다.
 9. ε< εty 이면 식 (20b)로부터 εr을 계산한다. εt는 식 (5)로부터 계산된다. εt ≥ εty 이면 식 (20)을 체크한다.
10. εr이 가정한 값에 충분히 근접하거나 식 (20a)가 만족
되면, 선정된 εds 값에 대응하는 εr, ζ, k1, σd, σr, α, td의 해가 얻어진다. 그렇지 못하면 새로운 εr을 가정하고 단계 2부터 단계 9까지 반복한다. 
11. 다른 εds값을 선정하고 단계 1부터 단계 10까지 반복한다. εds값은 적당한 증분으로 0.0035까지 증가시켜 선정한다. 이렇게 하면 8개의 변수 εds, εr, ζ, k1, σd, σr, α, td에 대한 해가 얻어진다.
12. 다른 변형률 또는 변위 변수 εl, εt, γlt, θ, ψ는 식 (4), (5), (6), (13), (14)로부터 각각 계산한다. 그리고 응력 또는 힘의 변수 τlt, fl, ft, T는 식 (3), (10), (11), (12)로부터 각각 계산된다.

4. 실험 자료와 해석결과

 본 논문에서 제안한 연화된 트러스모델을 고강도콘크리트에 적용성을 검토하기 위한 해석 예제로서 참고문헌에서 인용한 보 13개를 선정하였다.

 Table 2는 참고문헌에서 인용한 것으로 횡방향 비틀림 철근의 평균항복강도가 660Mpa인 9개의 보에 대한 실험결과와 해석결과를 보여주고 있다. Table 2에서 알 수 있듯이 본 논문이 제시한 모델에 의한 극한 비틀림 강도와 ACI 기준에 의한 공칭 비틀림 강도가 실험값보다 크게 나왔다. 또한 본 논문이 제시한 모델에서 콘크리트의 인장강성을 무시한 경우가 ACI 기준에 의한 경우보다 실험값에 더 가깝게 나타났으며, 그 반면에 본 논문이 제시한 모델에서 콘크리트의 인장강성을 고려한 경우보다 ACI 기준에 의한 경우가 실험값에 더 가깝게 나타났다 (L. J. Rasmussen et al., 1995).

Table 2 Results of calculations from Rausmussen et al.

 Table 3은 참고문헌에서 인용한 것으로 횡방향 비틀림 철근의 평균항복강도가 400Mpa인 4개의 보에 대한 실험결과와 해석결과를 보여주고 있다. Table 3에서 알 수 있듯이 현재 보통강도콘크리트에 적용하고 있는 설계기준 (ACI)은 콘크리트 기여 강도가 없으므로 횡방향 철근의 항복강도에 크게 영향을 받는다 (Joo, 2012). 즉 횡방향 철근의 항복강도가 660Mpa인 9개의 ACI 공칭 비틀림 강도의 실험값에 대한 비가 평균 1.476으로 실험값보다 크게 나왔으나 횡방향 비틀림 철근의 평균항복강도가 400Mpa인 4개의 보의 경우에는 콘크리트의 압축강도가 더 커지더라도 ACI 공칭 비틀림 강도의 실험값에 대한 비가 평균 0.194로 실험값보다 훨씬 작게 나왔다. 또한 본 논문이 제시한 모델에 의한 극한 비틀림 강도의 실험값에 대한 비가 인장강성을 고려한 경우 평균 0.860, 인장강성을 무시한 경우 평균 0.727으로 나타나 ACI 기준의 경우보다 실험값에 더 근접함을 알 수 있다.

Table 3 Results of calculations from Joo

 따라서 현재 사용하고 있는 ACI 기준에서 제시하는 공칭 비틀림 강도에 콘크리트 기여 강도가 추가되어야할 것으로 판단된다.

5. 결 론

 본 논문은 보통강도콘크리트에 적용한 연화트러스 모델이론이 고강도콘크리트에 적용할 수 있는지를 알아보고, 균열 후 콘크리트의 인장강성을 고려한 경우와 고려하지 않는 경우의 차이를 알아보고자 한다.

 본 연구의 참고문헌에서 발췌한 13개의 공시체에 대하여 ACI 설계기준이 제시한 공칭 비틀림 강도와 본 논문에서 제시한 모델에 의한 극한 비틀림 강도를 실험값과 비교 검토하였다. 본 논문의 연구결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

 (1) 본 논문이 제시한 모델에서 콘크리트의 인장강성을 무시한 경우가 ACI 기준에 의한 경우보다 실험값에 더 가깝게 나타났다.

 (2) 현재 보통강도콘크리트에 적용하고 있는 설계기준(ACI)은 콘크리트 기여 강도가 없으므로 콘크리트의 강도와 무관하게 횡방향 철근의 항복강도에 크게 영향을 받는다.

 (3) 고강도콘크리트 보에 대한 공칭 비틀림강도 산정을 위해 현재 사용하고 있는 ACI 기준을 적용에 있어, 모든 범위의 콘크리트 강도에 적용하기 위하여 공칭 비틀림 강도 산정 시 콘크리트 기여 강도를 포함되는 것이 바람직한 것으로 판단된다.

Reference

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