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ISSN : 2234-6937(Print)
ISSN : 2287-6979(Online)
Journal of Korea institue for Structural Maintenance Inspection Vol.21 No.6 pp.113-125
DOI : https://doi.org/10.11112/jksmi.2017.21.6.113

RSM-based Practical Optimum Design of TMD for Control of Structural Response Considering Weighted Multiple Objectives

Jeongyun Do1*, Seongoh Guk2, Dookie Kim3

∙ 본 논문에 대한 토의를 2017년 12월 1일까지 학회로 보내주시면 2018년 1월 호에 토론결과를 게재하겠습니다.

Corresponding author : arkido@gmail.com Industry-University Cooperation Foundation, Kunsan National University, Gunsan 54150, Korea
20170807 20171012 20171016

Abstract

In spite of bulk literature about the tuning of TMD, the effectiveness of TMD in reducing the seismic response of engineering structures is still in a row. This paper deals with the optimum tuning parameters of a passive TMD and simulated on MATLAB with a ten-story numerical shear building. A weighted multi-objective optimization method based on computer experiment consisting of coupled with central composite design(CCD) central composite design and response surface methodology(RSM) was applied to find out the optimum tuning parameters of TMD. After the optimization, the so-conceived TMD turns out to be optimal with respect to the specific seismic event, hence allowing for an optimum reduction in seismic response. The method was employed on above structure by assuming first the El Centro seismic input as a sort of benchmark excitation, and then additional recent strong-motion earthquakes. It is found that the RSM based weighted multi-objective optimized damper improves frequency responses and root mean square displacements of the structure without TMD by 31.6% and 82.3% under El Centro earthquake, respectively, and has an equal or higher performance than the conventionally designed dampers with respect to frequency responses and root mean square displacements and when applied to earthquakes.


가중 다목적성을 고려한 구조물 응답 제어용 TMD의 RSM 기반 실용적 최적 설계

도 정윤1*, 국 성오2, 김 두기3
1정회원, 군산대학교 산학협력단 산학협력교수, 교신저자
2학생회원, 군산대학교 토목환경공학부 박사수료
3정회원, 군산대학교 토목환경공학부 교수

초록

본 연구는 전산실험을 통해 중규모 건물에 설치한 수동형 TMD의 매개변수에 대한 가중 다목적 최적화 설계를 다루고 있다. MATLAB으로 수치 시뮬레이션 코드를 작성함으로써 지진하중에 대한 동적응답을 파악하였으며 중심합성계획법과 반응표면법으로 구성한 전산실험을 기반으로 하는 가중 다목적 최적화 기법을 적용하여 TMD의 최적 동조 매개변수를 찾고자 하였다. 본 연구에서는 10층 건물을 대 상으로 El Centro를 벤치마크 지진으로 가진하여 반응모델을 생성하고, AHP를 이용하여 반응변수 사이의 상대적 중요도를 산출한 후 가중다 목적최적화 설계를 실시하였다. 본 연구의 방법으로 최적화된 매개변수를 가진 TMD는 지진 응답을 효과적으로 저감하였다. El Centro 지진이 작용하는 경우 RSM 기반 가중 다목적 최적설계방법으로 최적화한 TMD의 진동수 응답과 최상층 평균제곱변위는 비제진시보다 각각 31.6% 와 82.3% 향상되었고, 모든 적용 지진에서 기존 설계법보다 동등 또는 이상의 성능을 가진 것으로 확인되었다.


    1.서 론

    지진과 같은 동적하중은 구조물의 안전성을 저하시킬 수 있으 므로 진동을 저감시키기 위한 다양한 제진 방법이 개발되었으며 그 중에서도 동조질량감쇠기(Tuned Mass Damper; TMD)는 성 능의 효과성, 설치의 효율성 및 경제성 등의 이유로 중대형 고층 건축구조물이나 차량교량에서부터 보도교에 이르기까지 다양 한 구조물에 널리 적용되고 있다.

    TMD 설계개념이 Den Hartog(1947)에 의해 이론적으로 정 립된 이후, TMD의 설계방법과 최적 매개변수 도출에 관한 많은 연구와 노력이 진행되어 오고 있다. 특히 최근의 연구들에서는 TMD를 구조물과 고유진동수를 동조시킬 때 수치적 최적화 알 고리즘을 사용하는 것이 유용하고 효과적인 선택이 될 수 있다 고 보고하고 있다(Lee et al., 2006).

    Leung et al.(2008)Leung and Zhang(2009)은 TMD시스 템의 최적 질량비, 댐퍼 감쇠비와 진동수비를 얻기 위해 평균제 곱변위 혹은 가속도 응답을 목적함수로하는 입자군집최적화 (Particle Swarm Optimization; PSO)를 적용한 연구를 수행하 였다. Bekdas and Nigdeli(2011, 2013)은 다자유도 건물의 지진 응답을 줄이기 위해 조화 탐색 알고리즘(Harmony Search Algorithm; HS)을 이용하여 TMD의 최적 매개변수를 찾는 연구 를 수행하였다. Farshidianfar and Soheili(2013)는 지반 구조물 상호작용을 고려한 40층 빌딩의 시간영역 지진해석을 수행하였 고, 감쇠계수와 스프링 강성을 설계변수로 설정한 Ant Colony 최적화 기법을 적용하여 구조물의 최대변위가 최소화되도록 TMD 최적화를 수행하였다. 하지만 본 연구들은 최적화의 대상 으로 상부층 최대 변위 혹은 비제어구조물과 TMD제어 구조물 사이의 상대최대변위 등의 단일목적함수만을 고려하고 있다는 한계가 있다(Khan et al., 2016b). Rahman et al.(2017)은 해상풍 력터빈의 진동제어를 위해 반응표면법 기반 다목적최적화를 적 용하여 효과적으로 TMD 설계변수의 파라미터 최적화를 수행 하였다. 본 연구에서는 TMD시스템의 성능을 좌우하는 응답으 로 평균제곱변위와 1차 모드 진동수 응답을 고려하여, 다목적최 적화문제로 다루었다. 변위응답과 진동수응답은 서로 다른 최적 해를 보이므로 두 개의 목적함수를 동시에 다루기 위해서는 다 목적 최적화의 개념이 적용될 필요가 있기 때문이다. 여기에 TMD시스템의 최종 성능에 대한 변위 응답과 진동수 응답은 서 로 다르게 영향을 미치므로 이런 점을 고려한 반응변수의 상대 적 중요도를 산출하여 적용한 가중 다목적 최적화문제가 적용되 었다.

    본 연구에서는 지진이 작용할 때 TMD 시스템에 의해 유발되 는 구조 응답을 개선하기 위해 작용지진과 구조시스템 사이의 동적 응답 관계를 시간이력해석을 통해 파악할 수 있도록 TMD 의 매개변수에 따른 각종 응답을 산출하는 형태로 구성된 MATLAB을 이용하여 코드를 작성하였다. 이 코드를 바탕으로 TMD 매개변수(최적화문제에서는 설계변수로함)와 반응변수 들 사이의 관계를 2차식 형태로 근사화하는 모델식을 전산실험 (Computer experiment)을 통해 도출하였다. 전산실험은 중심합 성계획법(Central Composite Design; CCD)을 이용하여 설계점 을 준비하고, 반응표면법(Response Surface Methodology; RSM) 을 이용하여 2차 근사모델식을 추정하였다. 즉 중심합성계획법 과 반응표면법을 기반으로 하는 가중 다목적 최적화 기법을 적 용하여 TMD 매개변수를 최적화 하였다. 이러한 연구 방법을 통 해 달성하고자 하는 본 연구 목적은 구조물의 평균제곱변위 및 1 차 진동수 응답의 크기를 최소화하기 위해 TMD의 진동수비와 감쇠비를 설계 변수로 하는 TMD최적설계에 적용 가능한 가중 다목적 최적화문제의 절차를 제시하고 10층 건물에 시뮬레이션 함으로써 최적화된 TMD 시스템의 성능을 평가하고 기존 TMD 설계법과의 비교를 통해 타당성을 검증하는 것이다.

    본 연구의 TMD 최적설계 프로세스는 전향적인(straightforward) 절차이므로 실행절차가 명료하며, 어렵게 프로그래밍 언어를 이 용하여 수치모델링 형태의 코드를 작성하지 않더라도 다양한 상 용유한요소 해석프로그램에서 지원하는 시간이력해석 기능을 이용하면, 지진동제어에 대한 전문가적 소양이 없더라도 기존 구조설계 및 해석 자료를 이용하여 쉽게 수진동제어를 설계할 수 있으므로 실용적 TMD 최적설계방법을 제시할 수 있을 것으 로 기대된다.

    2.연구절차 및 방법

    2.1.연구 구성 및 절차

    본 연구는 Fig. 1에 보이는 바와 같이 반응모델 및 다목적함수 의 생성, 최적화과정 그리고 동적특성검증의 3단계로 구성된 일 련의 최적화 과정을 수행하도록 구성되었다. 반응모델 및 다목 적함수와 최적해의 탐색의 과정은 MATLAB을 이용하여 프로 그래밍 코드를 작성하였으며, 마찬가지로 지진 하중을 받는 10층 건물의 동적 거동과 TMD를 이용한 수동제어특성도 MATLAB을 이용하여 수치적으로 시뮬레이션되어 각 설계 변수에 대한 다중 반응변수값을 얻는 과정과 최적해에서의 동적특성을 검증하고 기존 설계법과 비교평가하기 위해 이용되었다.

    2.2.연구방법

    2.2.1.반응모델 및 다목적함수 생성

    TMD의 성능을 좌우하는 목적함수의 반응모델을 얻기 위해 외부 지진동에 대한 구조물의 운동방정식을 MATLAB 코드로 작성한 후 전산실험(computer experiment)의 형식으로 반응특 성을 파악하는 과정을 실시하였다. 이 단계에서 수행되는 연구 내용은 Fig. 2에 설명되어진 것처럼 반응모델생성, 반응모델의 상대적 중요도 도출, 그리고 이를 반영한 호감도함수를 이용한 다목적 최적화 함수생성으로 구성되어 있다. 좀 더 구체적으로 보면, 먼저 반응 모델을 생성하는 과정은 실험점 준비, 전산실험 을 통한 각 실험점에서의 반응값 파악, 통계적 방법에 따른 반응 모델생성 마지막으로 분산분석(ANOVA)를 통한 반응모델의 통계적 검정 및 모델의 적합성(model adequacy)판정으로 구성 되어 있다. 두 번 째로 실험점의 결정은 크게 표준실험계획법, 공 간충진법, 격자법, 균등분할법 등이 존재하며, 전산실험을 통해 설계변수와 반응 사이의 관계를 파악하기 위해서 표준실험계획 법 중 2인자 중심합성계획법을 이용하여 설계점을 준비하였다. 마지막으로 반응모델은 아래 식 (1)의 형태로 널리 알려진 선형 회귀계수를 산정하는 절차에 따라 설계변수와 반응변수 사이의 함수관계가 완전2차모형으로 가정하여 식 (2)의 형태로 생성되 었으며, 이후 통계적 검정과 적합성이 검토되었다.

    y ^ = X β
    (1)

    여기서, y ^ = 추정벡터, X = 설계변수 수준의 벡터, β = 회 귀계수벡터.

    y = β 0 + i k β i x i + i k β i i x i 2 + i < j k β i j X i X j + ε
    (2)

    여기서, y = 예측 반응값, β0 = 절편, βi = 1차 선형 계수, βii =2계 이차 계수, βij = 교호작용영향 계수, XiXj = 각각 독립 변수의 코드화 수준, ε = 오차.

    이어서 Fig. 2의 중간 단계에서 설명된 것처럼 TMD 설계변수 의 결정에 대한 각 반응변수의 영향정도를 고려하기 위해 계층 분석법(AHP)를 이용하여 각 반응모델 사이의 상대적 중요도가 수치적으로 계산되어지며, 이를 통해 가중된(weighted) 반응모 델을 준비하였다. 본 연구에서는 다중반응모델의 최적화를 위해 Derringer and Suich(1980)이 제안한 호감도함수를 이용하여 다 목적 최적화 문제를 아래 식 (3)에 보이는 종합만족도함수라는 단일함수화한 최적화 목적함수를 구성하였다.

    D = ( I 1 × d 1 ( y 1 ) · I 2 × d 2 ( y 2 ) I m × d m ( y k ) ) 1 / m
    (3)

    여기서, d(y)는 반응변수 y의 개별만족도함수I이며, I는 각 반 응변수의 상대적중요도, D는 종합만족도함수임.

    2.2.2.최적해 탐색

    앞선 단계에서 구성된 종합만족도함수는 단일함수이지만 비 선형이므로 이 함수로부터 최적 지점은 “n”차원으로 구속된 비 선형 최적화 문제를 풀어서 찾는다. Minitab, Design Expert와 같은 상용 DOE(실험설계) 소프트웨어는 최급강하법(Steepest descent method)으로 목적함수를 구하므로 목적함수가 복잡하 고 비선형성이 클 때는 수렴속도가 매우 느린 것으로 알려져 있 다. 따라서 본 연구에서는 최급강하법의 단점을 보완하기 위해 Fletcher-Reeves의 알고리즘을 이용한 공액구배방법(Conjugate Gradient Method) 방법을 사용하였다. Fig. 3에는 종합만족도함 수로 표현된 목적함수의 최적해를 찾기 위해 공액구배방법을 적 용하여 계산하는 절차가 도시되어 있다. 공액구배방법(Conjugate Gradient Method)으로 최적해를 효율적으로 찾기위해서는 초 기값의 위치가 중요하다. Fig. 3의 왼쪽에는 직접법 중 무작위탐 색법을 이용하여 반복적으로 최적해 후보점을 찾는 절차가 설명 되어 있다. 이 후보점을 초기 시작점으로 하여 Fig. 3의 오른쪽에 설명되어 있는 공액구배방법의 Fletcher-Reeves 알고리즘을 이 용하여 최적해을 찾았다.

    2.2.3.동특성 해석

    제안된 최적화 기법으로 설계된 TMD의 제진 성능을 확인하 기 위한 구조시스템의 운동방정식을 다음 식과 같이 구성한 후 MATLAB에서 코딩하여 구조물의 동적특성을 파악하였다.(4)

    M x ¨ + C x ˙ + K x = M x ¨ g
    (4)

    여기서, x , x ˙ , x ¨ x ¨ g 는 각각 구조물의 변위, 속도, 가속도를 나 타내고, 각 벡터의 크기는 (N + 1) × 1이다. M, CK는 전체 질량, 감쇠 그리고 강성 행렬을 나타내며, M, CK는 다음과 같다.(5)(6)(7)

    M = [ M s N × N 0 N × 1 0 1 × N m d 1 × 1 ] ( N + 1 ) × ( N + 1 )
    (5)

    C = [ C s N × N 0 N × 1 0 1 × N c d 1 × 1 ] ( N + 1 ) × ( N + 1 )
    (6)

    K = [ K s N × N 0 N × 1 0 1 × N k d 1 × 1 ] ( N + 1 ) × ( N + 1 )
    (7)

    여기서, md, cd 그리고 kd는 각각 TMD의 질량, 감쇠 그리고 강성을 나타낸다.

    대상 구조물에 다양한 진동수 영역을 포함하는 El Centro, California 그리고 Northridge 지진을 입력지진으로 하여 시간이 력 지진해석을 수행하였다. El Centro 지진에 대한 해석 결과를 이용하여 응답모델을 생성하기 위한 전산실험를 실시하였고, California와 Northridge 지진에 대해 추가적으로 동적특성을 파 악하여 본 연구에서 제안한 최적화 기법으로 설계한 TMD의 제 진 성능을 검증하였다. 더불어 Den hartog(1947), Sadek et al.(1997), Warburton(1982)등이 제안한 기존 TMD설계법과 본 연구의 방법으로부터 얻은 각각의 결과를 비교 검토하였다.

    3.적용 예제

    3.1.설계변수와 반응변수

    TMD제어 장치가 최적의 성능을 발휘하기 위해서는 매개변 수를 최적으로 설계하는 것이 필요하다. 본 연구에서는 최적화 할 설계변수(Xi)로는 TMD의 진동수비(frequency ratio)와 감쇠 비(damping ratio)를 설정하였고, 반응변수는 식 (8)과 (9)에 보 이는 바와 같이 1차 모드 진동수의 최대 크기(y1)와 구조물 최상 층의 평균제곱변위(y2)를 설정하여 이들 반응변수가 최소가 되 도록 식 (10)과 (11)의 각 반응변수에 대한 목적함수(J)를 구성 하여 최적화를 실시하였다.

    y 1 = max  d B 1 s t mod ( X )
    (8)

    y 2 = SD top ( X )
    (9)

    J 1 = arg X MIN [ y 1 ( X ) ]
    (10)

    J 2 = arg X MIN [ y 2 ( X ) ]
    (11)

    3.2최적화 대상 구조물

    3.2.1.구조모델특성

    전산 실험을 기반으로 TMD 동적 특성과 반응모델을 준비하 고 최적화 기법과 그 결과를 검증하기 위하여 Fig. 4의 10층 중규 모 건물에 대하여 지진해석을 수행하였으며, 건물 각 층 질량과 강성, 그리고 Rayleigh 감쇠를 이용하여 산출한 구조물의 감쇠 계수가 Table 1에 정리되어 있다.

    3.2.2.적용 지진 및 모드해석

    앞서 2.2.2절에서 설명한 바와 같이 대상 구조물의 지진성능 해석을 위해 적용한 지진은 다양한 진동수 영역을 포함하는 El-Centro, California 그리고 Northridge이었으며(Rahman 2017), 특히 El-Centro 지진에 대한 해석 결과를 이용하여 응답모델을 생성하기 위한 전산실험(computer experiment)를 실시하였다. California지진과 Northridge지진은 본 연구에서 제안한 최적화 기법으로 설계한 TMD의 제진 성능을 비제진시의 경우, 그리고 기존 설계 방법에 의한 경우와 비교 검토하였다. 여기서, 비제진 혹은 제진을 적용할 때 구조물의 지진해석은 앞서 2.2.3절에서 기술한 구조물의 운동방정식을 MATLAB을 이용하여 수치해 석적으로 수행하였다.

    3.3.반응모델생성

    3.3.1.설계점 및 구조반응

    본 연구에서 설정한 TMD 반응변수인 1차 모드 진동수의 최 대 크기(J1)와 구조물 최상층의 평균제곱변위(J2)를 최소로 하 는 TMD 설계변수의 최적값을 찾기 위해 표준실험법 중 중심합 성설계로 전산실험을 설계하였다. Fig. 5에 표현되어 있는 바와 같이 실험 설계는 요인점 4개, 축점 4개 그리고 중심점 1개로 총 9개의 실험점(설계점)으로 구성되었다. 실제변수공간(real variable space)에서 진동수비(x1)와 감쇠비(x2)의 관심설계영역은 각각 (0.85~1.0)과 (0.05~0.2)로 설정하였으며, Fig. 5에 보이는 -1에 서 1로 코드화된 변수공간(coded variable space)에서의 설계점 은 선형변환을 통해 각 설계점을 대응시킬 수 있다. 구조물의 동 적특성을 파악하기 위해 작성된 MATLAB코드를 작성하여 이 설계점에서의 TMD제진 시 구조 동적 반응을 얻었으며, 이 결과 는 Table 2에 나열되어 있다.

    3.3.2.반응모델생성 및 모델 적정성

    상관계수(R-squared)는 관측 혹은 실험 자료가 적합 회귀식 에 근접한 정도(precision)를 나타내는 척도이다. 일반적으로, 관 측 자료와 예측 자료 간의 표준편차가 작고 불편한 경우(unbiased) 모델과 자료가 잘 적합되었다고 판단한다. Table 34는 각각 추정된 반응모델에 대한 분산분석결과와 TMD응답 변수의 완 전 2차 모델에 대한 R2 값을 보여주고 있다. Table 4에 보이는 반 응모델의 상관계수인 R2의 값은 상당히 높은 값을 보이므로 MATLAB 코드로부터 계산된 반응자료와 Table 3의 반응모델 사이에는 높은 상관성을 가지고 있어, 공학의 관점에서 각 반응 에 대하여 충분한 설명력을 가지고 있는 것으로 판단할 수 있다.

    3.3.3.반응모델의 반응면 탐색

    Table 4에 나열된 반응모델은 진동수비와 감쇠비로 구성된 설계변수들의 변화에 따른 반응변수의 변화를 설명할 수 있다. 이런 의미에서 Figs. 67은 TMD의 진동수비 및 감쇠비에 따른 El-Centro 지진을 받는 구조물의 1차 모드 최대 진동수응답과 최 상층 평균제곱변위의 변화를 보여주고 있다. 진동수와 평균변위 는 설계변수에 대하여 비선형적인 특성을 보이고 있으며, 그림 을 통해 직관적으로 판단할 때 각자 서로 다른 최적점을 보이고 있다. 즉 진동수 응답과 평균 변위를 단일 최적해문제로 간주하 여 앞서 2.2.2절에서 기술한 최적해 탐색방법을 통해 코드변환 공간에서의 최적해를 구하면, 각각(0.963, 0.549)와 (0.681, 0.472) 를 얻는다. 이로부터 하나의 반응변수, 즉 목적함수를 최소화하 더라도 다른 목적함수를 동시에 최소화하는 것은 불가능하며, 이는 목적함수 상호 간의 타협점(trade-off point)의 탐색이 필요 하다는 것을 알 수 있다.

    3.4.가중 다목적함수

    앞서 설명한 바와 같이 두 개 이상의 목적함수를 동시에 최소 화하는 것은 불가능하므로 이를 효과적으로 다루기 위해서는 다 목적함수 최적화 기법의 적용이 필요하다. 본 연구에서는 만족 도함수를 이용하여 다목적함수를 단일목적함수화하는 방법으 로 다목적최적화를 수행하였다. 여기서 목적함수 사이의 상대적 중요도(가중치)를 고려하기 위해 계층분석법(AHP)을 이용하여 목적함수 사이의 쌍대비교를 바탕으로 상대적 중요도를 수치적 으로 계산하여 적용하였으며, 그 결과가 Fig. 8에 도시되어 있다. Table 5는 각 반응변수 즉 목적함수의 개별 만족도함수를 구성 하기 위한 매개변수를 보여주고 있으며, 두 목적함수 모두 최소 화 문제이므로 목표값이 설정되고 최소한 초과되서는 안되는 한계값을 제시하는 상한이 설정되었다. 이 설정을 바탕으로 Figs. 910에는 설계변수에 따른 각 목적함수의 개별만족도함 수가 도시적으로 설명되어 있다. 이들 개별만족도함수는 2.2.1 절의 식 (3)에 따라 종합만족도함수의 형태로 결합되어 다목적 함수의 문제를 단일목적함수 문제화 하였다. 설계변수의 변화 에 따른 종합만족도함수의 변화는 Fig. 11에 도시적으로 설명되 어 있다.

    3.5.최적해

    앞서 살펴본 바와 같이 모든 목적함수를 동시에 최적화하기 위해 본 연구에서는 식 (3)과 같은 형태의 종합만족도함수를 사 용하였으며, 2.2.2절에 기술된 최적해 탐색 알고리즘을 이용하 여 최적해를 구하였다. 그 결과 설계변수인 진동수비와 감쇠비 의 최적해는 각각 0.946과 0.164이었으며, 이 최적점에서의 반 응값인 최대 진동수 응답은 5.65 dB, 제곱평균 변위의 최대값은 4.29 cm이었다. 이의 결과는 Table 6에 나열되어 있다. 본 연구 로부터 얻은 TMD의 최적 진동수비와 감쇠비를 적용하여 El-Centro 지진을 받는 건물의 지진해석 결과 1차 모드의 최대 진동수 응답과 구조물의 제곱평균 변위는 각각 6.06 dB와 4.4 cm 로 산정된 반면 Table 5에 있는 각 반응변수의 추정모델로부터 예측된 반응은 5.65 dB과 4.29 cm이었다. 이들 두 해석값과 예 측값 사이의 최대 진동수 응답과 최상층의 평균제곱변위의 오차 는 각각 6.83%와 2.5%로 허용 가능한 범위 내에 있는 것으로 판 단된다(Table 6).Table 7

    4.최적해에서의 동적 특성

    4.1.비제어와 RSM 최적 제어의 비교

    4.1.1.최대 진동수응답

    Fig. 12은 지진하중이 작용하는 경우 RSM에 기반한 다목적 최적화방법에 의해 얻어진 최적해가 적용된 TMD에 의해 제어 된 경우의 구조물 진동수 응답을 구조물이 제어되지 않은 경우 그리고 Warburton의 방법에 의해 설계된 TMD에 의해 제어된 경우와 서로 비교한 결과를 보여주고 있다.

    Fig. 12(a)는 El-Centro 지진이 적용된 경우 TMD 제어 유무 에 따른 최대 진동수 응답을 나타내고 있다. TMD제어를 받지 않 은 구조물의 진동수 응답은 34.73 dB이고, 본 연구의 RSM기반 다목적최적화의 방법으로부터 얻은 최적해를 가진 TMD에 의 해 제어된 경우의 응답은 6.15 dB이었다. 이에 반해 Warburton 방법으로 설계한 TMD에 의해 제어된 경우의 진동수 응답은 8.67 dB으로 분석되었다. 즉, 본 연구의 RSM기반 최적화된 TMD는 비제어된 경우보다는 약 82.3%, Warburton의 방법에 비해서는 41.0% 개선된 성능을 보였다.

    Figs. 12(b)(c)는 각각 California 지진과 Northridge 지진 이 작용할 때 구조물의 진동수 응답을 나타내는 것으로 본 연구 의 RSM기반 다목적최적화의 방법으로부터 얻은 최적해를 가진 TMD에 의해 제어된 경우의 응답은 TMD제어를 받지 않은 구조 물의 진동수 응답과 비교하여 각각 66.3%와 71.4% 만큼 개선되 었으며, Warburton의 방법과 비교하자면, 각각 약 32.3%와 47.0%만큼 성능이 개선되었다. 이 결과로부터, 본 연구의 RSM 기반 가중다목적최적화의 방법을 이용하여 TMD의 설계변수를 최적화하는 경우 변위응답에 비하여 진동수 응답의 개선이 두드 러지는 것으로 분석되었다.

    4.1.2.최상층에서의 최대 변위

    Fig. 13은 각각 El-Centro, California, 그리고 Northridge 지 진 하중을 받는 구조물의 비제어할 때와 앞선 다목적최적화 과 정을 통해 얻은 Table 6의 최적화된 매개변수를 갖는 TMD에 의 해 제어될 때의 최상층 변위 응답을 보여주고 있다. 여기서 이들 변위 응답은 Warburton의 방법에 따라 설계된 TMD에 의해 제 어될 때의 동적 응답과 도시적으로 비교되었다. Fig. 13(a)는 El-Centro 지진이 작용 하중일 때 제어 전후에 대한 구조물의 변 위 응답으로 제어 전 최대 변위는 32.87 cm이고, 이에 반해 RSM 기반 최적의 TMD로 제어 후 최대 변위는 22.49 cm이었기 때문 에 비제어 시에 비하여 약 31.6% 개선된 것으로 분석되었다. Figs. 13(b)(c)는 각각 California지진과 Northridge지진이 작 용할 때 제어 전후에 대한 구조물의 변위 응답을 보여주고 있다. 제어 전 구조물의 최대 변위는 각각 3.95 cm와 9.81 cm이고, 반면 RSM으로 최적화한 TMD에 의해 제어된 후 변위는 각각 3.12 cm 와 4.96 cm으로 평가되어, 각각 21.1%와 49.5%가 개선되었다. Warburton의 방법에 따라 설계된 TMD의 경우와 비교하여 볼 때, 거의 비슷하거나 부분적으로 개선된 변위 응답을 보여주고 있어 본 연구에서 수행한 RSM 기반 다목적최적화 방법에 의한 TMD최적설계결과는 공학적으로 충분히 인정될 수 있는 수준 의 성능을 보여주고 있는 것으로 판단된다.

    Table 8은 본 연구의 최적해를 가지는 TMD에 의해 제어할 때 의 각 층에서의 최대변위응답을 비제어 시의 응답과 비교한 결 과를 3개의 입력지진 별로 보여 주고 있다. El Centro지진이 작 용하는 경우 각 층의 최대 변위가 19.3에서 31.8%, California 지 진이 작용하는 경우 19.7에서 36.8% 그리고 Northridge지진이 작용하는 경우 28.6%에서 53.0%까지 변위 응답이 개선되는 것 으로 분석되었다.

    4.1.3.최상층에서의 평균제곱변위

    Fig. 14는 Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법과 같은 여러가지 방법들에 의해 설계된 TMD에 의해 구조물이 제 어될 경우 각각의 방법들에 의해 초래되는 최상층 평균제곱변위 (RMSD)를 TMD제어하지 않은 경우와 비교한 결과를 나타내고 있다. El Centro 지진을 적용했을 경우 제어를 하지 않은 구조물 의 RMSD는 11.85 cm이었고, 본 연구의 RSM으로 최적화한 TMD로 제어된 경우의 RSMD는 4.4 cm이었다. 또한, Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법으로 제어한 경우의 RMSD 는 각각 4.44 cm, 4.83 cm 그리고 4.53 cm이었다. 본 연구의 다 목적 최적화방법에 의한 TMD최적설계는 기존 설계법과 비교 하여 동등 혹은 다소 개선된 성능을 보이는 것으로 분석되었다.

    California와 Northridge 지진의 경우도 El Centro지진의 경 우와 비슷한 결과를 보여주었다. 즉 TMD를 적용하지 않은 구조 물의 RMSD응답은 각각 1.8 cm와 4.08 cm이었고, Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법으로 제어한 경우의 RMSD는 각각 0.96 cm, 0.97 cm, 1 cm와 1.69 cm, 1.87 cm, 1.66 cm이었다.

    4.1.4.에너지 응답

    Fig. 15는 입력지진 별 RSM에 기반하여 최적화된 TMD를 적 용한 구조물의 모드 에너지 분석결과를 TMD 제어가 되지 않는 경우와 War모드 에너지 관점에서의 에너지 응답을 보여주고 있 으며, Fig. 15(a)의 El-Centro 지진이 작용하는 경우, TMD 제어 가 적용되지 않은 경우의 모드 에너지는 4.12 kN이고, 이에 반하 여 RSM 기반으로 최적화한 TMD로 제어한 경우의 모드에너지 는 약 93%개선된 0.29 kN이었다. 또한 Warburton의 방법으로 설계한 TMD가 적용된 경우와 비교하면 약 7%정도 개선되어 상 당히 우수한 성능을 발휘하는 것으로 판단된다.

    Figs. 15(b)(c)는 각각 California 지진과 Northridge 지진 이 적용된 경우의 모드에너지 응답을 보여주며, RSM 기반으로 최적화한 TMD로 제어한 경우의 모드에너지는 비제어한 경우 와 Warburton의 방법으로 설계한 TMD가 적용된 경우와 비교 하여, California 지진이 적용된 경우 각각 약 86%와 62%만큼 개선되었으며, Northridge지진이 적용된 경우에는 각각 약 91% 와 약 14%만큼 개선된 분석결과를 보여줬다.

    4.2.기존 TMD 설계 방법과 비교

    Table 9에는 여러 TMD 설계법으로부터 얻은 TMD 매개변수 의 설계값이 나열되어 있다. 본 연구의 RSM에 기반한 다목적최 적화의 해는 Den-Hartog의 설계값과 비슷한 수치를 보이고 있 다. Table 10에는 TMD제어를 받지 않은 구조물의 최상층 최대 변위응답, 1차모드 최대 진동수 응답, 그리고 1차 모드 에너지 응 답의 성능에 대한 Den Hartog, Sadek, Warburton의 기존 설계 법과 본 연구의 다목적 최적화기법에 의해 발휘되는 각 성능을 비교한 결과가 적용지진 별로 정리되어 있다.

    여러 성능 항목 중 최대변위응답의 경우 본 연구의 방법에 의 한 TMD 최적설계는 기존 설계법과 비교하여 동등 이상의 성능 을 발휘하고 있는 것으로 분석되었으며, 진동수 응답과 모드 에 너지 응답의 경우 모든 적용지진에서 기존 설계법과 비교하여 거의 상회한 성능을 발휘하고 있다.

    즉 최상층 최대변위 감소율을 비교한 결과를 보면, Den Hartog, Sadek 그리고 Warburton 방법으로 설계한 TMD이 적용된 경우 El Centro 지진에 대해서는 각각 32%, 31.51% 그리고 32.91% 감소하였고, 본 연구의 RSM 기반 다목적 최적화한 TMD가 적 용된 경우 31.6% 감소하였다. California 지진에 대해서는 각각 19.0%, 25.56%, 15.9%, 그리고 21.0% 감소하였고, Northridge 지진에 대해서는 각각 49.8%, 45.2%, 51.1%, 그리고 49.4%감 소하였다. 또한 진동수 응답의 경우 El Centro 지진에 대해서는 각각 78.6%, 79.1%, 75.0%, 그리고 82.3% 감소하였고, California 지진에 대해서는 각각 60.4%, 64.9%, 55.4%, 그리고 66.3% 감 소하였으며, Northridge 지진에 대해서는 각각 64.8, 67.4%, 58.0%, 그리고 71.4% 감소하였다. 전체적으로 본 연구의 다목 적 최적화 방법에 의해 최적화된 TMD가 적용되는 경우가 우수 한 성능을 보이고 있는 것으로 분석되었다.

    최대 변위와 최대 진동수 응답 이외에도 모드 에너지의 성능 항목에서도 본 연구의 방법이 가장 우수한 성능 보이고 있는 데, El Centro지진이 적용되는 경우 Den Hartog는 92.5%, Sadek은 91.7%, Warburton은 91.5%, 그리고 본 연구의 방법은 94.2% 감 소하였고, California지진의 경우 Den Hartog는 84.2%, Sadek 은 84.8%, Warburton은 81.5%, 그리고 본 연구의 방법은 88.6% 감소하였다. 마지막으로 Northridge 지진에 대해서는 각각 92.6%, 91.0 %, 92.4%, 94.0% 감소하였다.

    Table 11은 El Centro지진의 작용하는 경우 본 연구의 다목적 최적화에 의한 TMD 최적설계방법에 대한 기존 설계법들의 각 층에서의 최대변위응답을 비교한 결과를 보여주고 있으며, Sadek의 방법은 본 연구의 방법보다 큰 변위응답을 발생시키고 있으며, Den hartog의 방법은 거의 비슷한 변위응답을 보여주고 있다. 하지만, TMD의 변위를 보면 Sadek의 방법이 가장 적었으 며, 본 연구의 방법이 그 다음으로 적은 변위를 보였다. 다만, Table 11에서 보이는 바와 같이 Sadek의 경우 설계 과정 중 질량 비가 증가했다는 점을 고려하면, 본 연구의 방법이 TMD의 변위 가 가장 적었다고 볼 수 있다. TMD의 변위는 초고층 구조물을 제 어 하는 경우 제어실을 설계하는 경우 비용 및 안전과 관련하여 중요하게 고려해야 하는 인자이다. 결과적으로 본 연구의 RSM 에 기반한 다목적 최적화의 TMD 최적설계방법은 제진효과가 매우 우수하였으며, 여러 기존 설계방법과 비교하여서도 동등 이 상의 성능을 발휘하여 우수한 제진 효과 있음을 확인 할 수 있다.

    5.결 론

    본 연구는 TMD의 서로 상충되는 목적함수를 동시에 합리적 으로 고려하여 적절한 타협점을 찾을 수 있는 반응표면법에 기 반한 다목적 최적화기법을 적용하여 TMD 설계변수의 최적해 를 합리적이고 공학적으로 타당한 방법을 제시하였다. 본 연구 에서 제안한 응답표면법과 연계된 가중 다목적 최적화 TMD 최 적설계절차는 적용 지진에 대한 TMD 매개변수들을 효율적이고 체계적으로 산출할 수 있음이 증명되었다. 더욱이, Den Hartog, Sadek 그리고 Warburton의 기존 설계법과 비교하여 동등 이상 의 성능을 보이고 있음을 시간이력해석 등의 분석을 통해 입증 되었다. 본 연구에서 적용한 가중 다목적 최적화 기법은 수동형 TMD 장치에만 적용하였지만, 기타 적응형, 반능동형 그리고 능 동형 TMD 장치의 최적 매개변수를 탐색하는 데에도 충분히 적 용될 수 있을 것으로 기대된다. 다만, 본 연구에서 적용한 최적해 탐색 알고리즘의 개선 노력이 필요하며, 향후 최신 비구속 전역 최적해 탐색 알고리즘을 적용한 연구를 진행하도록 할 것이다.

    감사의 글

    본 연구는 2016년도 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단 의 기초연구사업(No. NRF-2016R1C1B1013481과 중견연구자 사업(No. NRF-2014R1A2A1A10049538)의 지원을 받아 수행 한 연구 과제임.

    Figure

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    Study procedure and multi-objective optimization of TMD

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    Proposed RSM based weighted multi-Objective optimization procedure

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    Composite desirability function for multi-objective optimization

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    Structural models with TMD installed

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    Design points of 2-factor CCD in coded space

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    Frequency responses vs. design variables

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    Top floor root mean squared displacement vs. design variables

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    Relative importances between objective functions

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    Individual desirability vs. frequency amplitude

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    Individual desirability vs. root mean squared displacement

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    Composite desirability vs. frequency ratio and damping ratio

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    Kinematic 1st mode frequency response of the structure

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    Kinematic displacement response at top floor

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    Comparison of RMSD at top floor of each TMD design method per the different applied earthquake load

    JKSMI-21-113_F15.gif

    Energy response in terms of modal energy of the structure under the applied seismic loads

    Table

    Structural Properties

    Analysis point and corresponding structural responses

    dB1st_mode = maximum frequency response amplitude at 1st mode and RMSD_top = root mean squared displacement at top floor

    ANOVA results of the estimated regreession for the responses

    ais sum of squared and mean squared, respectively.
    bis sum of squared and mean squared, respectively.
    cis calculated from Mean Squared Regreesion(SS/DF of Regression) devided by Mean Squared Error(SS/DF of Residual error).
    dAn alpha value of 0.1 is considered to be signifciance level.

    Estimated response quadratic models and model adequacy check in coded variable space

    Parameter configuration for individual desirability function

    ais a parameter comprising individual desirability function and affects a gradient and a curvature.
    bis the mutual relative importance of each objective function, which measures how much one objective function affects the final decision making compared with the other one.

    Optimal design point obtained from composite desirability function

    Comparison between the predicted value from the estimated model and the analysis result at the obtained optimal point

    Maximum displacement at each floor and reduction ratio of RSM-optimized TMD compared with uncontrolled

    Design parameters designed by the different TMD design methods

    Comparative results for this study with the conventional TMD design methods to uncontrolled

    aindicates maximum top displacement(m), maximum frequency amplitude(dB), and modal energy(kN), respectively.
    bindicates maximum top displacement(m), maximum frequency amplitude(dB), and modal energy(kN), respectively.
    cindicates maximum top displacement(m), maximum frequency amplitude(dB), and modal energy(kN), respectively.

    Comparative results for maximum displacement at each floor with respect to El Centro earthquake

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